一文弄懂神经网络中的反向传播法——BackPropagation

排版迁移勘误（2026-09-07）：L₃ 为输出层，隐含单元的输出改记为 outₕ₁、outₕ₂；前向计算的首个输出修正为 0.75136507。w₁—w₄ 的更新属于输入层到隐含层，隐含误差信号记为 δ。示例代码的第二个训练目标由笔误 0.09 更正为 0.99，与正文一致。末尾历史迭代结果保留原记录，其末位与固定偏置、同步更新的复算有微小差异。

最近在看深度学习的东西，一开始看的吴恩达的UFLDL教程，有中文版就直接看了，后来发现有些地方总是不是很明确，又去看英文版，然后又找了些资料看，才发现，中文版的译者在翻译的时候会对省略的公式推导过程进行补充，但是补充的又是错的，难怪觉得有问题。反向传播法其实是神经网络的基础了，但是很多人在学的时候总是会遇到一些问题，或者看到大篇的公式觉得好像很难就退缩了，其实不难，就是一个链式求导法则反复用。如果不想看公式，可以直接把数值带进去，实际的计算一下，体会一下这个过程之后再来推导公式，这样就会觉得很容易了。

　　说到神经网络，大家看到这个图应该不陌生：

　　这是典型的三层神经网络的基本构成，Layer L1是输入层，Layer L2是隐含层，Layer L3是输出层，我们现在手里有一堆数据{x1,x2,x3,…,xn},输出也是一堆数据{y1,y2,y3,…,yn},现在要他们在隐含层做某种变换，让你把数据灌进去后得到你期望的输出。如果你希望你的输出和原始输入一样，那么就是最常见的自编码模型（Auto-Encoder）。可能有人会问，为什么要输入输出都一样呢？有什么用啊？其实应用挺广的，在图像识别，文本分类等等都会用到，我会专门再写一篇Auto-Encoder的文章来说明，包括一些变种之类的。如果你的输出和原始输入不一样，那么就是很常见的人工神经网络了，相当于让原始数据通过一个映射来得到我们想要的输出数据，也就是我们今天要讲的话题。

　　本文直接举一个例子，带入数值演示反向传播法的过程，公式的推导等到下次写Auto-Encoder的时候再写，其实也很简单，感兴趣的同学可以自己推导下试试：）（注：本文假设你已经懂得基本的神经网络构成，如果完全不懂，可以参考Poll写的笔记：[Mechine Learning & Algorithm] 神经网络基础）

　　假设，你有这样一个网络层：

　　第一层是输入层，包含两个神经元i1，i2，和截距项b1；第二层是隐含层，包含两个神经元h1,h2和截距项b2，第三层是输出o1,o2，每条线上标的wi是层与层之间连接的权重，激活函数我们默认为sigmoid函数。

　　现在对他们赋上初值，如下图：

　　其中，输入数据  i1=0.05，i2=0.10;

　　　　　输出数据 o1=0.01,o2=0.99;

　　　　　初始权重  w1=0.15,w2=0.20,w3=0.25,w4=0.30;

　　　　　　　　　  w5=0.40,w6=0.45,w7=0.50,w8=0.55

　　目标：给出输入数据i1,i2(0.05和0.10)，使输出尽可能与原始输出o1,o2(0.01和0.99)接近。

Step 1 前向传播

　　1.输入层---->隐含层：

　　计算神经元h1的输入加权和：

$$\begin{aligned} \mathrm{net}_{h_1} &= w_1 i_1 + w_2 i_2 + b_1\cdot 1 \\ &= 0.15\times 0.05 + 0.2\times 0.1 + 0.35\times 1 = 0.3775 \end{aligned}$$

神经元 h1 的输出 $\mathrm{out}_{h_1}$：(此处用到激活函数为sigmoid函数)：

$$\mathrm{out}_{h_1} = \frac{1}{1+e^{-\mathrm{net}_{h_1}}} = \frac{1}{1+e^{-0.3775}} = 0.593269992$$

　　同理，可计算出神经元 h2 的输出 $\mathrm{out}_{h_2}$：

$$\mathrm{out}_{h_2} = 0.596884378$$

　　2.隐含层---->输出层：

　　计算输出层神经元o1和o2的值：

$$\begin{aligned} \mathrm{net}_{o_1} &= w_5\,\mathrm{out}_{h_1} + w_6\,\mathrm{out}_{h_2} + b_2\cdot 1 \\ &= 0.4\times 0.593269992 + 0.45\times 0.596884378 + 0.6\times 1 \\ &= 1.105905967 \\ \mathrm{out}_{o_1} &= \frac{1}{1+e^{-\mathrm{net}_{o_1}}} = \frac{1}{1+e^{-1.105905967}} = 0.75136507 \end{aligned}$$ $$\mathrm{out}_{o_2} = 0.772928465$$

这样前向传播的过程就结束了，我们得到输出值为[0.75136507 , 0.772928465]，与实际值[0.01 , 0.99]相差还很远，现在我们对误差进行反向传播，更新权值，重新计算输出。

Step 2 反向传播

1.计算总误差

总误差：(square error)

$$E_{\mathrm{total}} = \sum \frac{1}{2}(\mathrm{target}-\mathrm{output})^2$$

但是有两个输出，所以分别计算o1和o2的误差，总误差为两者之和：

$$\begin{aligned} E_{o_1} &= \frac{1}{2}(\mathrm{target}_{o_1}-\mathrm{out}_{o_1})^2 \\ &= \frac{1}{2}(0.01-0.75136507)^2 = 0.274811083 \end{aligned}$$ $$E_{o_2} = 0.023560026$$ $$E_{\mathrm{total}} = E_{o_1}+E_{o_2} = 0.274811083+0.023560026 = 0.298371109$$

2.隐含层---->输出层的权值更新：

以权重参数w5为例，如果我们想知道w5对整体误差产生了多少影响，可以用整体误差对w5求偏导求出：（链式法则）

$$\frac{\partial E_{\mathrm{total}}}{\partial w_5} = \frac{\partial E_{\mathrm{total}}}{\partial\mathrm{out}_{o_1}}\cdot\frac{\partial\mathrm{out}_{o_1}}{\partial\mathrm{net}_{o_1}}\cdot\frac{\partial\mathrm{net}_{o_1}}{\partial w_5}$$

下面的图可以更直观的看清楚误差是怎样反向传播的：

总误差对 w₅ 的导数等于沿计算路径的三个局部导数之积。

$$\begin{aligned} \frac{\partial\mathrm{net}_{o_1}}{\partial w_5}\cdot\frac{\partial\mathrm{out}_{o_1}}{\partial\mathrm{net}_{o_1}}\cdot\frac{\partial E_{\mathrm{total}}}{\partial\mathrm{out}_{o_1}} &= \frac{\partial E_{\mathrm{total}}}{\partial w_5} \\ E_{o_1} &= \frac{1}{2}(\mathrm{target}_{o_1}-\mathrm{out}_{o_1})^2 \\ E_{\mathrm{total}} &= E_{o_1}+E_{o_2} \end{aligned}$$

现在我们来分别计算每个式子的值：

计算$\frac{\partial E_{\mathrm{total}}}{\partial\mathrm{out}_{o_1}}$：

$$\begin{aligned} E_{\mathrm{total}} &= \frac{1}{2}(\mathrm{target}_{o_1}-\mathrm{out}_{o_1})^2 + \frac{1}{2}(\mathrm{target}_{o_2}-\mathrm{out}_{o_2})^2 \\ \frac{\partial E_{\mathrm{total}}}{\partial\mathrm{out}_{o_1}} &= 2\times\frac{1}{2}(\mathrm{target}_{o_1}-\mathrm{out}_{o_1})^{2-1}\times(-1)+0 \\ &= -(\mathrm{target}_{o_1}-\mathrm{out}_{o_1}) \\ &= -(0.01-0.75136507) = 0.74136507 \end{aligned}$$

计算$\frac{\partial\mathrm{out}_{o_1}}{\partial\mathrm{net}_{o_1}}$：

$$\begin{aligned} \mathrm{out}_{o_1} &= \frac{1}{1+e^{-\mathrm{net}_{o_1}}} \\ \frac{\partial\mathrm{out}_{o_1}}{\partial\mathrm{net}_{o_1}} &= \mathrm{out}_{o_1}(1-\mathrm{out}_{o_1}) \\ &= 0.75136507(1-0.75136507) = 0.186815602 \end{aligned}$$

（这一步实际上就是对sigmoid函数求导，比较简单，可以自己推导一下）

计算$\frac{\partial\mathrm{net}_{o_1}}{\partial w_5}$：

$$\begin{aligned} \mathrm{net}_{o_1} &= w_5\,\mathrm{out}_{h_1}+w_6\,\mathrm{out}_{h_2}+b_2\cdot 1 \\ \frac{\partial\mathrm{net}_{o_1}}{\partial w_5} &= 1\times\mathrm{out}_{h_1}\times w_5^{1-1}+0+0 \\ &= \mathrm{out}_{h_1}=0.593269992 \end{aligned}$$

最后三者相乘：

$$\begin{aligned} \frac{\partial E_{\mathrm{total}}}{\partial w_5} &= \frac{\partial E_{\mathrm{total}}}{\partial\mathrm{out}_{o_1}}\cdot\frac{\partial\mathrm{out}_{o_1}}{\partial\mathrm{net}_{o_1}}\cdot\frac{\partial\mathrm{net}_{o_1}}{\partial w_5} \\ &= 0.74136507\times 0.186815602\times 0.593269992 = 0.082167041 \end{aligned}$$

这样我们就计算出整体误差E(total)对w5的偏导值。

回过头来再看看上面的公式，我们发现：

$$\frac{\partial E_{\mathrm{total}}}{\partial w_5} = -(\mathrm{target}_{o_1}-\mathrm{out}_{o_1})\,\mathrm{out}_{o_1}(1-\mathrm{out}_{o_1})\,\mathrm{out}_{h_1}$$

为了表达方便，用$\delta_{o_1}$来表示输出层的误差：

$$\begin{aligned} \delta_{o_1} &= \frac{\partial E_{\mathrm{total}}}{\partial\mathrm{out}_{o_1}}\cdot\frac{\partial\mathrm{out}_{o_1}}{\partial\mathrm{net}_{o_1}} = \frac{\partial E_{\mathrm{total}}}{\partial\mathrm{net}_{o_1}} \\ &= -(\mathrm{target}_{o_1}-\mathrm{out}_{o_1})\,\mathrm{out}_{o_1}(1-\mathrm{out}_{o_1}) \end{aligned}$$

因此，整体误差E(total)对w5的偏导公式可以写成：

$$\frac{\partial E_{\mathrm{total}}}{\partial w_5} = \delta_{o_1}\,\mathrm{out}_{h_1}$$

若改用相反符号定义误差信号，则梯度写为下式：

$$\frac{\partial E_{\mathrm{total}}}{\partial w_5} = -\delta_{o_1}\,\mathrm{out}_{h_1}$$

最后我们来更新w5的值：

$$\begin{aligned} w_5^+ &= w_5-\eta\,\frac{\partial E_{\mathrm{total}}}{\partial w_5} \\ &= 0.4-0.5\times 0.082167041 = 0.35891648 \end{aligned}$$

（其中，$\eta$是学习速率，这里我们取0.5）

同理，可更新w6,w7,w8:

$$\begin{aligned} w_6^+ &= 0.408666186 \\ w_7^+ &= 0.511301270 \\ w_8^+ &= 0.561370121 \end{aligned}$$

3.输入层到隐含层的权值更新：

　方法其实与上面说的差不多，但是有个地方需要变一下，在上文计算总误差对w5的偏导时，是从out(o1)---->net(o1)---->w5,但是在输入层到隐含层的权值更新时，是out(h1)---->net(h1)---->w1,而out(h1)会接受E(o1)和E(o2)两个地方传来的误差，所以这个地方两个都要计算。

h₁ 的输出影响两个输出单元，其梯度必须累加两条下游路径的贡献。

$$\begin{aligned} \frac{\partial E_{\mathrm{total}}}{\partial w_1} &= \frac{\partial E_{\mathrm{total}}}{\partial\mathrm{out}_{h_1}}\cdot\frac{\partial\mathrm{out}_{h_1}}{\partial\mathrm{net}_{h_1}}\cdot\frac{\partial\mathrm{net}_{h_1}}{\partial w_1} \\ \frac{\partial E_{\mathrm{total}}}{\partial\mathrm{out}_{h_1}} &= \frac{\partial E_{o_1}}{\partial\mathrm{out}_{h_1}}+\frac{\partial E_{o_2}}{\partial\mathrm{out}_{h_1}} \\ E_{\mathrm{total}} &= E_{o_1}+E_{o_2} \end{aligned}$$

计算$\frac{\partial E_{\mathrm{total}}}{\partial\mathrm{out}_{h_1}}$：

$$\frac{\partial E_{\mathrm{total}}}{\partial\mathrm{out}_{h_1}} = \frac{\partial E_{o_1}}{\partial\mathrm{out}_{h_1}}+\frac{\partial E_{o_2}}{\partial\mathrm{out}_{h_1}}$$

先计算$\frac{\partial E_{o_1}}{\partial\mathrm{out}_{h_1}}$：

$$\frac{\partial E_{o_1}}{\partial\mathrm{out}_{h_1}} = \frac{\partial E_{o_1}}{\partial\mathrm{net}_{o_1}}\cdot\frac{\partial\mathrm{net}_{o_1}}{\partial\mathrm{out}_{h_1}}$$ $$\begin{aligned} \frac{\partial E_{o_1}}{\partial\mathrm{net}_{o_1}} &= \frac{\partial E_{o_1}}{\partial\mathrm{out}_{o_1}}\cdot\frac{\partial\mathrm{out}_{o_1}}{\partial\mathrm{net}_{o_1}} \\ &= 0.74136507\times 0.186815602 = 0.138498562 \end{aligned}$$ $$\begin{aligned} \mathrm{net}_{o_1} &= w_5\,\mathrm{out}_{h_1}+w_6\,\mathrm{out}_{h_2}+b_2\cdot 1 \\ \frac{\partial\mathrm{net}_{o_1}}{\partial\mathrm{out}_{h_1}} &= w_5 = 0.40 \end{aligned}$$ $$\begin{aligned} \frac{\partial E_{o_1}}{\partial\mathrm{out}_{h_1}} &= \frac{\partial E_{o_1}}{\partial\mathrm{net}_{o_1}}\cdot\frac{\partial\mathrm{net}_{o_1}}{\partial\mathrm{out}_{h_1}} \\ &= 0.138498562\times 0.40 = 0.055399425 \end{aligned}$$

同理，计算出：

$$\frac{\partial E_{o_2}}{\partial\mathrm{out}_{h_1}} = -0.019049119$$

两者相加得到总值：

$$\begin{aligned} \frac{\partial E_{\mathrm{total}}}{\partial\mathrm{out}_{h_1}} &= \frac{\partial E_{o_1}}{\partial\mathrm{out}_{h_1}}+\frac{\partial E_{o_2}}{\partial\mathrm{out}_{h_1}} \\ &= 0.055399425+(-0.019049119)=0.036350306 \end{aligned}$$

再计算$\frac{\partial\mathrm{out}_{h_1}}{\partial\mathrm{net}_{h_1}}$：

$$\begin{aligned} \mathrm{out}_{h_1} &= \frac{1}{1+e^{-\mathrm{net}_{h_1}}} \\ \frac{\partial\mathrm{out}_{h_1}}{\partial\mathrm{net}_{h_1}} &= \mathrm{out}_{h_1}(1-\mathrm{out}_{h_1}) \\ &= 0.59326999(1-0.59326999)=0.241300709 \end{aligned}$$

再计算$\frac{\partial\mathrm{net}_{h_1}}{\partial w_1}$：

$$\begin{aligned} \mathrm{net}_{h_1} &= w_1 i_1+w_2 i_2+b_1\cdot 1 \\ \frac{\partial\mathrm{net}_{h_1}}{\partial w_1} &= i_1 = 0.05 \end{aligned}$$

最后，三者相乘：

$$\begin{aligned} \frac{\partial E_{\mathrm{total}}}{\partial w_1} &= \frac{\partial E_{\mathrm{total}}}{\partial\mathrm{out}_{h_1}}\cdot\frac{\partial\mathrm{out}_{h_1}}{\partial\mathrm{net}_{h_1}}\cdot\frac{\partial\mathrm{net}_{h_1}}{\partial w_1} \\ &= 0.036350306\times 0.241300709\times 0.05 = 0.000438568 \end{aligned}$$

 为了简化公式，用 $\delta_{h_1}$（delta）表示隐含层单元h1的误差：

$$\begin{aligned} \frac{\partial E_{\mathrm{total}}}{\partial w_1} &= \left(\sum_o\frac{\partial E_{\mathrm{total}}}{\partial\mathrm{out}_o}\cdot\frac{\partial\mathrm{out}_o}{\partial\mathrm{net}_o}\cdot\frac{\partial\mathrm{net}_o}{\partial\mathrm{out}_{h_1}}\right)\cdot\frac{\partial\mathrm{out}_{h_1}}{\partial\mathrm{net}_{h_1}}\cdot\frac{\partial\mathrm{net}_{h_1}}{\partial w_1} \\ &= \left(\sum_o\delta_o\,w_{ho}\right)\mathrm{out}_{h_1}(1-\mathrm{out}_{h_1})\,i_1 \\ &= \delta_{h_1}\,i_1 \end{aligned}$$

最后，更新w1的权值：

$$\begin{aligned} w_1^+ &= w_1-\eta\,\frac{\partial E_{\mathrm{total}}}{\partial w_1} \\ &= 0.15-0.5\times 0.000438568 = 0.149780716 \end{aligned}$$

同理，额可更新w2,w3,w4的权值：

$$\begin{aligned} w_2^+ &= 0.19956143 \\ w_3^+ &= 0.24975114 \\ w_4^+ &= 0.29950229 \end{aligned}$$

　　这样误差反向传播法就完成了，最后我们再把更新的权值重新计算，不停地迭代，在这个例子中第一次迭代之后，总误差E(total)由0.298371109下降至0.291027924。迭代10000次后，总误差为0.000035085，输出为[0.015912196,0.984065734](目标输出为[0.01,0.99]),证明效果还是不错的。

代码(Python):

#coding:utf-8
import random
import math

#
#   参数解释：
#   "pd_" ：偏导的前缀
#   "d_" ：导数的前缀
#   "w_ho" ：隐含层到输出层的权重系数索引
#   "w_ih" ：输入层到隐含层的权重系数的索引

class NeuralNetwork:
    LEARNING_RATE = 0.5

    def __init__(self, num_inputs, num_hidden, num_outputs, hidden_layer_weights = None, hidden_layer_bias = None, output_layer_weights = None, output_layer_bias = None):
        self.num_inputs = num_inputs

        self.hidden_layer = NeuronLayer(num_hidden, hidden_layer_bias)
        self.output_layer = NeuronLayer(num_outputs, output_layer_bias)

        self.init_weights_from_inputs_to_hidden_layer_neurons(hidden_layer_weights)
        self.init_weights_from_hidden_layer_neurons_to_output_layer_neurons(output_layer_weights)

    def init_weights_from_inputs_to_hidden_layer_neurons(self, hidden_layer_weights):
        weight_num = 0
        for h in range(len(self.hidden_layer.neurons)):
            for i in range(self.num_inputs):
                if not hidden_layer_weights:
                    self.hidden_layer.neurons[h].weights.append(random.random())
                else:
                    self.hidden_layer.neurons[h].weights.append(hidden_layer_weights[weight_num])
                weight_num += 1

    def init_weights_from_hidden_layer_neurons_to_output_layer_neurons(self, output_layer_weights):
        weight_num = 0
        for o in range(len(self.output_layer.neurons)):
            for h in range(len(self.hidden_layer.neurons)):
                if not output_layer_weights:
                    self.output_layer.neurons[o].weights.append(random.random())
                else:
                    self.output_layer.neurons[o].weights.append(output_layer_weights[weight_num])
                weight_num += 1

    def inspect(self):
        print('------')
        print('* Inputs: {}'.format(self.num_inputs))
        print('------')
        print('Hidden Layer')
        self.hidden_layer.inspect()
        print('------')
        print('* Output Layer')
        self.output_layer.inspect()
        print('------')

    def feed_forward(self, inputs):
        hidden_layer_outputs = self.hidden_layer.feed_forward(inputs)
        return self.output_layer.feed_forward(hidden_layer_outputs)

    def train(self, training_inputs, training_outputs):
        self.feed_forward(training_inputs)

        # 1. 输出神经元的值
        pd_errors_wrt_output_neuron_total_net_input = [0] * len(self.output_layer.neurons)
        for o in range(len(self.output_layer.neurons)):

            # ∂E/∂zⱼ
            pd_errors_wrt_output_neuron_total_net_input[o] = self.output_layer.neurons[o].calculate_pd_error_wrt_total_net_input(training_outputs[o])

        # 2. 隐含层神经元的值
        pd_errors_wrt_hidden_neuron_total_net_input = [0] * len(self.hidden_layer.neurons)
        for h in range(len(self.hidden_layer.neurons)):

            # dE/dyⱼ = Σ ∂E/∂zⱼ * ∂z/∂yⱼ = Σ ∂E/∂zⱼ * wᵢⱼ
            d_error_wrt_hidden_neuron_output = 0
            for o in range(len(self.output_layer.neurons)):
                d_error_wrt_hidden_neuron_output += pd_errors_wrt_output_neuron_total_net_input[o] * self.output_layer.neurons[o].weights[h]

            # ∂E/∂zⱼ = dE/dyⱼ * ∂zⱼ/∂
            pd_errors_wrt_hidden_neuron_total_net_input[h] = d_error_wrt_hidden_neuron_output * self.hidden_layer.neurons[h].calculate_pd_total_net_input_wrt_input()

        # 3. 更新输出层权重系数
        for o in range(len(self.output_layer.neurons)):
            for w_ho in range(len(self.output_layer.neurons[o].weights)):

                # ∂Eⱼ/∂wᵢⱼ = ∂E/∂zⱼ * ∂zⱼ/∂wᵢⱼ
                pd_error_wrt_weight = pd_errors_wrt_output_neuron_total_net_input[o] * self.output_layer.neurons[o].calculate_pd_total_net_input_wrt_weight(w_ho)

                # Δw = α * ∂Eⱼ/∂wᵢ
                self.output_layer.neurons[o].weights[w_ho] -= self.LEARNING_RATE * pd_error_wrt_weight

        # 4. 更新隐含层的权重系数
        for h in range(len(self.hidden_layer.neurons)):
            for w_ih in range(len(self.hidden_layer.neurons[h].weights)):

                # ∂Eⱼ/∂wᵢ = ∂E/∂zⱼ * ∂zⱼ/∂wᵢ
                pd_error_wrt_weight = pd_errors_wrt_hidden_neuron_total_net_input[h] * self.hidden_layer.neurons[h].calculate_pd_total_net_input_wrt_weight(w_ih)

                # Δw = α * ∂Eⱼ/∂wᵢ
                self.hidden_layer.neurons[h].weights[w_ih] -= self.LEARNING_RATE * pd_error_wrt_weight

    def calculate_total_error(self, training_sets):
        total_error = 0
        for t in range(len(training_sets)):
            training_inputs, training_outputs = training_sets[t]
            self.feed_forward(training_inputs)
            for o in range(len(training_outputs)):
                total_error += self.output_layer.neurons[o].calculate_error(training_outputs[o])
        return total_error

class NeuronLayer:
    def __init__(self, num_neurons, bias):

        # 同一层的神经元共享一个截距项b
        self.bias = bias if bias else random.random()

        self.neurons = []
        for i in range(num_neurons):
            self.neurons.append(Neuron(self.bias))

    def inspect(self):
        print('Neurons:', len(self.neurons))
        for n in range(len(self.neurons)):
            print(' Neuron', n)
            for w in range(len(self.neurons[n].weights)):
                print('  Weight:', self.neurons[n].weights[w])
            print('  Bias:', self.bias)

    def feed_forward(self, inputs):
        outputs = []
        for neuron in self.neurons:
            outputs.append(neuron.calculate_output(inputs))
        return outputs

    def get_outputs(self):
        outputs = []
        for neuron in self.neurons:
            outputs.append(neuron.output)
        return outputs

class Neuron:
    def __init__(self, bias):
        self.bias = bias
        self.weights = []

    def calculate_output(self, inputs):
        self.inputs = inputs
        self.output = self.squash(self.calculate_total_net_input())
        return self.output

    def calculate_total_net_input(self):
        total = 0
        for i in range(len(self.inputs)):
            total += self.inputs[i] * self.weights[i]
        return total + self.bias

    # 激活函数sigmoid
    def squash(self, total_net_input):
        return 1 / (1 + math.exp(-total_net_input))


    def calculate_pd_error_wrt_total_net_input(self, target_output):
        return self.calculate_pd_error_wrt_output(target_output) * self.calculate_pd_total_net_input_wrt_input();

    # 每一个神经元的误差是由平方差公式计算的
    def calculate_error(self, target_output):
        return 0.5 * (target_output - self.output) ** 2

    
    def calculate_pd_error_wrt_output(self, target_output):
        return -(target_output - self.output)

    
    def calculate_pd_total_net_input_wrt_input(self):
        return self.output * (1 - self.output)


    def calculate_pd_total_net_input_wrt_weight(self, index):
        return self.inputs[index]


# 文中的例子:

nn = NeuralNetwork(2, 2, 2, hidden_layer_weights=[0.15, 0.2, 0.25, 0.3], hidden_layer_bias=0.35, output_layer_weights=[0.4, 0.45, 0.5, 0.55], output_layer_bias=0.6)
for i in range(10000):
    nn.train([0.05, 0.1], [0.01, 0.99])
    print(i, round(nn.calculate_total_error([[[0.05, 0.1], [0.01, 0.99]]]), 9))


#另外一个例子，可以把上面的例子注释掉再运行一下:

# training_sets = [
#     [[0, 0], [0]],
#     [[0, 1], [1]],
#     [[1, 0], [1]],
#     [[1, 1], [0]]
# ]

# nn = NeuralNetwork(len(training_sets[0][0]), 5, len(training_sets[0][1]))
# for i in range(10000):
#     training_inputs, training_outputs = random.choice(training_sets)
#     nn.train(training_inputs, training_outputs)
#     print(i, nn.calculate_total_error(training_sets))

　　最后写到这里就结束了，现在还不会用latex编辑数学公式，本来都直接想写在草稿纸上然后扫描了传上来，但是觉得太影响阅读体验了。以后会用公式编辑器后再重把公式重新编辑一遍。稳重使用的是sigmoid激活函数，实际还有几种不同的激活函数可以选择，具体的可以参考文献[3]，最后推荐一个在线演示神经网络变化的网址：http://www.emergentmind.com/neural-network，可以自己填输入输出，然后观看每一次迭代权值的变化，很好玩~如果有错误的或者不懂的欢迎留言：）

参考文献：

1.Poll的笔记：[Mechine Learning & Algorithm] 神经网络基础（http://www.cnblogs.com/maybe2030/p/5597716.html#3457159 ）

2.Rachel_Zhang:http://blog.csdn.net/abcjennifer/article/details/7758797

3.http://www.cedar.buffalo.edu/%7Esrihari/CSE574/Chap5/Chap5.3-BackProp.pdf

4.https://mattmazur.com/2015/03/17/a-step-by-step-backpropagation-example/

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